Question

定義數列：，且對任意正整數，有.
（1）求數列的通項公式與前項和；
（2）問是否存在正整數，使得？若存在，則求出所有的正整數對
；若不存在，則加以證明.

Answer 1

（1），；
（2）見解析.

考查了等差、等比數列的通項公式、求和公式，數列的分組求和等知識，考查了學生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數學思想、化歸與轉化的思想以及創新意識．
解：（1）對任意正整數k，
，
.        1分
所以數列是首項,公差為2等差數列；數列是首項
,公比為3的等比數列.     2分
對任意正整數k, ,.        3分
所以數列的通項公式  4分
對任意正整數k,
.  5分
    6分
所以數列的前n項和為
.   7分
(2)  ,
從而,由知m=1,2,3      8分
①當時,    9分
②當時,     10分       
③當時,
       13分       
綜上可知,符合條件的正整數對(m,n)只有兩對：(2,2,)與(3,1)   14分