Question

19．已知函數y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數，其中a，b∈R，且0＜b＜-a．設函數F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，且F（x）不恒等于0，則對于F（x）有如下說法：
①定義域為[-b，b]
②是奇函數   
③最小值為0
④在定義域內單調遞增
其中正確說法的序號是①②．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析 對于①，根據F（x）的解析式以及f（x）的定義域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定義域，可得①正確；
對于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再結合F（x）的其定義域，可得F（x）為奇函數，②正確；對于③，舉出反例，當f（x）＞1時，可得F（x）的最小值不是0，故③錯誤；
對于④，由于F（x）是奇函數，結合奇函數的性質，可得④錯誤；綜合可得答案．

解答 解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①，對于F（x）=f²（x）-f²（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，則F（x）=f²（x）-f²（-x）中，x的取值范圍是-b≤x≤b，即其定義域是[-b，b]，則①正確；
對于②，F（-x）=f²（-x）-f²（x）=-F（x），且其定義域為[-b，b]，關于原點對稱，
則F（x）為奇函數，②正確；
對于③，由y=f（x）無零點，假設f（x）=2^x，F（x）=2^2x-2^-2x=2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$無最小值，故③錯誤；
對于④，由于F（x）是奇函數，則F（x）在[-b，0]上與[0，b]上的單調性相同，故F（x）在其定義域內不一定單調遞增，④錯誤；
故答案為①②．

點評 本題考查函數的性質，涉及函數的定義域、奇偶性、單調性、最值等性質，判斷②時，注意要結合函數F（x）的定義域．