Question

3．如表提供了某廠節能降耗技術改造后，生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對照數據

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，求出y關于x的回歸直線方程；
（3）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據（2）求出的回歸直線方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？注：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來得到散點圖；
（2）計算對應的數值，求出回歸方程的系數，寫出線性回歸方程；
（3）利用線性回歸方程計算x=100時$\stackrel{∧}{y}$的值，再求比技改前降低的噸數．

解答 解：（1）把所給的四對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖；
（2）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
∴回歸方程的系數為：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（3）利用線性回歸方程計算x=100時，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.35=70.35，
則90-70.35=19.65，
即比技改前降低了19.65噸．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了散點圖的畫法問題，是基礎題目．