Question

13．如圖，有一塊扇形草地OMN，已知半徑為R，∠MON=$\frac{π}{2}$，現要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN
（1）若點A為弧MN的一個三等分點，求矩形ABCD的面積S；
（2）當A在何處時，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）作OH⊥AB于點H，交線段CD于點E，連接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面積S；
（2）設∠AOB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面積S，再求最大值．

解答 解：（1）如圖，作OH⊥AB于點H，交線段CD于點E，連接OA、OB，
∴∠AOB=$\frac{π}{6}$，…（2分）
∴AB=24sin$\frac{π}{12}$，OH=12cos$\frac{π}{12}$，
OE=DE=$\frac{1}{2}$AB=12sin$\frac{π}{12}$，
∴EH=OH-OE=12（cos$\frac{π}{12}$-sin$\frac{π}{12}$），
S=AB•EH=144（2sin$\frac{π}{12}$cos$\frac{π}{12}$-2sin²$\frac{π}{12}$）=72（$\sqrt{3}$-1）…（6分）
（2）設∠AOB=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
則AB=24sin$\frac{θ}{2}$，OH=12cos$\frac{θ}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$AB=12cos$\frac{θ}{2}$，
∴EH=OH-OE=12（cos$\frac{θ}{2}$-sin$\frac{θ}{2}$），
S=AB•EH=144（2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$-2sin²$\frac{θ}{2}$）=144[$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）-1]，…（11分）
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即θ=$\frac{π}{4}$時，S_max=144（$\sqrt{2}$-1），此時A在弧MN的四等分點處．          …（14分）

點評 本題考查扇形的面積公式，考查三角函數的性質，比較基礎．