Question

20．若雙曲線C的頂點和焦點分別為橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦點和頂點，則雙曲線C的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

Answer 1

分析 由橢圓的標準方程為：焦點在x軸上，則a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，焦點（±2，0），頂點（±3，0），由題意可知：設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0），焦距2c₁，則m=2，c₁=3，n²=$\sqrt{{c}_{1}^{2}-{m}^{2}}$=5，即可求得雙曲線的標準方程．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦點在x軸上，則a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，
則橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦點（±2，0），頂點（±3，0），
由雙曲線C的頂點和焦點分別為橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦點和頂點，
則設雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0），焦距2c₁，
∴m=2，c₁=3，
則n²=$\sqrt{{c}_{1}^{2}-{m}^{2}}$=5，
∴雙曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線及橢圓的簡單幾何性質，考查轉化思想，屬于基礎題．