Question

10．已知長方形的對角線長為1，求長方體的最大的表面積，并求出這時長方體的各棱長．

Answer 1

分析 設長方體的各棱長分別為a，b，c，表面積為S，由長方形的對角線長為1，得到a²+b²+c²=1，從而S=2（ab+bc+cd）≤2（a²+b²+c²）=2，由此能求出結果．

解答 解：設長方體的各棱長分別為a，b，c，表面積為S，
∵長方形的對角線長為1，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=1，∴a²+b²+c²=1，
則有S=2（ab+bc+cd）≤2（a²+b²+c²）=2，
當且僅當a=b=c時，取等號，
這時a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴長方體的最大的表面積為2，
這時長方體的各條棱長均為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查長方體的最大表面積及其對應的各棱長的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意長方體的性質的合理運用．