Question

11．設f（x）=|x-3|+|x-4|．
（1）求函數$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定義域；
（2）若存在實數x滿足f（x）≤ax-1，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=|x-3|+|x-4|與直線y=2交點的橫坐標為$\frac{5}{2}$和$\frac{9}{2}$，由此能求出不等式$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定義域．
（2）函數y=ax-1的圖象是過點（0，-1）的直線，作出圖象，結合圖象能求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=|x-3|+|x-4|=\left\{{\begin{array}{l}{7-2x\;，\;\;x＜3}\\{1\;，\;\;3\;≤\;x\;≤\;4}\\{2x-7\;，\;\;x＞4}\end{array}}\right.$，
它與直線y=2交點的橫坐標為$\frac{5}{2}$和$\frac{9}{2}$．
∴不等式$g（x）=\sqrt{2-f（x）}$的定義域為$[\frac{5}{2}\;，\;\;\frac{9}{2}]$．（5分）
（2）函數y=ax-1的圖象是過點（0，-1）的直線，
作出圖象，如下圖：

結合圖象可知，a取值范圍為$（-∞\;，\;\;-2）∪[\frac{1}{2}\;，\;\;+∞）$．（10分）

點評 本題考查函數的定義域的求法，考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．