Question

8．如圖所示的四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=$\sqrt{2}$，AB=BC=1，AD=2，E為PD中點．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求證：平面PAC⊥平面PDC；
（3）求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出四邊形MEBC為平行四邊形，從而BM∥CE，由此能證明CE∥面PAB．
（Ⅱ）推導出PA⊥DC，DC⊥AC，由此能證明平面PAC⊥平面PDC．
（Ⅲ）推導出PC⊥CD，AC⊥CD，從而∠PCA即為二面角P-CD-A的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的大小．

解答 證明：（Ⅰ）取PA的中點M，連接BM，ME∥AD，且ME=$\frac{1}{2}$AD，
BC∥AD，且BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴ME∥BC，且 ME=BC，
∴四邊形MEBC為平行四邊形，
∴BM∥CE，又CE?面PAB，BM?面PAB，
∴CE∥面PAB． …（3分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，
又AC²+CD²=2+2=AD²，∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，
又DC?平面PDC，
∴平面PAC⊥平面PDC．…（7分）
解：（Ⅲ）∵CD⊥平面PAC，∴PC⊥CD，AC⊥CD，
∴∠PCA即為二面角P-CD-A的平面角．
在Rt△PAC中，∵PA=AC=$\sqrt{2}$，
∴tan∠PCA=1，∴∠PCA=45°，
∴二面角P-CD-A的大小為45°…（10分）

點評 本題考查平面與平面所成的角、直線與平面平行及平面與平面垂直的判定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．