Question

18．已知三個正數a，b，c為等比數列，則$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用等比數列求出a、b、c關系，然后通過構造函數判斷函數的單調性，求解函數的最值．

解答 解：b²=ac⇒a+c≥2b⇒令y=$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$，設x=$\frac{a+c}$，x≥2，
因為y=x+$\frac{1}{x}$在x≥2時是增函數，
所以y≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
則$\frac{a+c}$+$\frac{a+c}$的最小值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查數列與函數的綜合應用，利用函數的單調性求解函數的最值，本題的易錯解$\frac{a+c}+\frac{a+c}≥2\sqrt{\frac{a+c}•\frac{a+c}}=2$，取等條件至關重要．