Question

7．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²+mx+$\frac{7}{2}$（m＜0），直線l與函數f（x）的圖象相切，切點的橫坐標為1，且直線l與函數g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數m的值；
（2）若h（x）=f（x）-x+3，求函數h（x）的最大值；
（3）當0＜b＜a時，求證：f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線l方程為y=x-1，直線l與函數y=g（x）的圖象相切，所以有x²+2（m-1）x+9=0方程有兩個相等實根．
（2）利用導數判斷函數的單調性，直接求出函數的最大值即可；
（3）由（2）知當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1），即x∈（0，1）時，lnx-x+3＜2，lnx＜x-1來證明．

解答 解：（1）∵f'（x）=$\frac{1}{x}$，∴f'（1）=1．∴直線l的斜率為k=1，且與函數f（x）的圖象的切點坐標為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．
又∵直線l與函數y=g（x）的圖象相切，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+mx+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$有一解．由上述方程消去y，并整理得
  x²+2（m-1）x+9=0  ①
方程①有兩個相等的實數根，∴△=[2（m-1）]²-4×9=0
解得m=4或m=-2；∵m＜0∴m=-2．
（2）由（1）可知g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+$\frac{7}{2}$，∴g'（x）=x-2
h（x）=f（x）-x+13=lnx-x+3（x＞0）．h'（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
∴當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0．
∴當x=1時，h（x）取最大值，其最大值為2．
證明：（3）f（a+b）-f（2a）=ln（a+b）-ln2a=ln$\frac{a+b}{2a}$．
∵0＜b＜a，0＜$\frac{a+b}{2a}＜1$
由（2）知當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）∴即x∈（0，1）時，lnx-x+3＜2，lnx＜x-1
ln$\frac{a+b}{2a}$＜$\frac{a+b}{2a}-1$．
∴f（a+b）-f（2a）＜$\frac{b-a}{2a}$

點評 本題主要考察導數與斜率的關系，函數的單調性與最值，以及不等式證明，屬中等題．