Question

15．給出以下命題：
①雙曲線$\frac{y^2}{2}$-x²=1的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x；
②命題P：?x∈R⁺，sinx+$\frac{1}{sinx}$≥1是真命題；
③已知線性回歸方程為$\widehaty$=3+2x，當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；
④設隨機變量ξ服從正態分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，則P（-1＜ξ＜0）=0.6；
則正確命題的序號為①③．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，可判斷①；分析出x∈R⁺時，sinx+$\frac{1}{sinx}$的范圍，可判斷②；根據回歸系數的幾何意義，可判斷③；求出P（-1＜ξ＜0），可判斷④．

解答 解：①雙曲線$\frac{y^2}{2}$-x²=1的焦點在y軸上，
a=$\sqrt{2}$，b=1，
故其漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x；故正確；
②命題P：?x∈R⁺，sinx∈[-1，1]，
sinx+$\frac{1}{sinx}$∈[-2，0）∪（0，2]；故錯誤
③已知線性回歸方程為$\widehaty$=3+2x，
當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；故正確；
④設隨機變量ξ服從正態分布N（0，1），
若P（ξ＞1）=0.2，
則P（-1＜ξ＜0）=$\frac{1}{2}$（1-2×0.2）=0.3；故錯誤；
故答案為：①③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了雙曲線的性質，對勾函數的圖象和性質，線性回歸分析，正態分布，難度中檔．