Question

10．已知直線l在y軸上的截距為-2，且垂直于直線x-2y-1=0．
（1）求直線l的方程；
（2）設直線l與兩坐標軸分別交于A、B兩點，△OAB內接于圓C，求圓C的一般方程．

Answer 1

分析 （1）設直線l的方程為y=kx-2，利用兩直線垂直斜率相乘為-1來求出另一條直線的斜率即可；
（2）由于△OAB是直角三角形，所以圓C的圓心C是線段AB的中點，半徑為$\frac{1}{2}|AB|$．

解答 解：（1）設直線l的方程為y=kx-2．
直線x-2y-1=0的斜率為$\frac{1}{2}$，所以k=-2．
直線l的方程為y=-2x-2．
（2）設圓C的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
由于△OAB是直角三角形，
所以圓C的圓心C是線段AB的中點，半徑為$\frac{1}{2}|AB|$；
由A（-1，0），B（0，-2）得C（-$\frac{1}{2}$，-1），|AB|=$\sqrt{5}$；
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}=-\frac{1}{2}}\\{-\frac{E}{2}=-1}\\{\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得D=1，E=2，F=0．
圓C的一般方程為：x²+y²+x+2y=0．

點評 本題主要考察了直線方程與斜率的關系，以及圓的一般方程等基礎知識，屬基礎題．