Question

13．已知函數f（x）=ax²-2x+2+lnx（a＞0）
（1）若f（x）在其定義域上是單調增函數，求實數a的取值集合；
（2）當a=$\frac{3}{8}$時，函數y=f（x）在[eⁿ，+∞]（n∈Z）有零點，求n的最大值．

Answer 1

分析 （1）分離參數，求函數的導數，利用導數和單調性之間的關系，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）根據函數的單調性，利用極值與x軸之間的關系，確定n的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
若f（x）在其定義域上是單調增函數，
則a≥$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{2x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{-4x（x-1）}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$
故a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）由（1）知y_極大=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{6}$+ln$\frac{2}{3}$＞0，
y_極小=f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
當x＞0且x→0時f（x）＜0，故f（x）在定義域上存在唯一零點x₀，且x₀∈（0，$\frac{2}{3}$），
若n≥0，則eⁿ≥1，[eⁿ，+∞）?（$\frac{2}{3}$，+∞），此區間不存在零點，舍去．
若n＜0，當n=-1時，x∈[$\frac{1}{e}$，+∞），f（$\frac{1}{e}$）=1+$\frac{3}{{8e}^{2}}$-$\frac{2}{e}$＞0，
又（$\frac{1}{e}$，$\frac{2}{3}$）為增區間，此區間不存在零點，舍去．
當n=-2時，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞），f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$（$\frac{3}{{8e}^{2}}$-2）＜0，
又在區間（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），y=f（$\frac{2}{3}$）＞0，此時x₀∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2}{3}$），
綜上n_max=-2．

點評 本題主要考查函數的單調性與導數之間的關系，以及利用根的存在性定義判斷函數零點問題，綜合性較強，難度較大．