Question

20．數列{a_n}滿足a₁=2016，前n項和S_n=（1+2+…+n）•a_n，對任意n∈N^*成立，則a₂₀₁₅=$\frac{6}{2017}$．

Answer 1

分析 由前n項和S_n=（1+2+…+n）•a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，可得n≥2時，a_n=S_n-S_n，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$．利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：∵前n項和S_n=（1+2+…+n）•a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n-$\frac{n（n-1）}{2}{a}_{n-1}$，
化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n+2}$$•\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…×$\frac{4}{6}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{4}$×2016
=$\frac{6×2016}{（n+2）（n+1）}$．
∴a₂₀₁₅=$\frac{6×2016}{2017×2016}$=$\frac{6}{2017}$．
故答案為：$\frac{6}{2017}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、“累乘求積”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．