Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

，a∈R．
（Ⅰ）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域，再求導f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，從而由導數判斷函數的單調性；
（Ⅱ）求導f′(x)=

x+a

x2

，從而討論a以確定函數的單調性，從而確定函數的最小值的點，從而求a．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
∵a＞0，
∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
（Ⅱ）因為f′(x)=

x+a

x2

；
①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此時f（x）在[1，e]上為增函數，
f（x）_min=f（1）=-a=2，
∴a=-2（舍去）． 
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此時f（x）在[1，e]上為減函數，
∴f(x)min=f(e)=1-

a

e

=2，
所以，a=-e；
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0得x=-a，
當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數，
當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，a=-e（舍去），
綜上可知：a=-e．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，以及分類討論的數學思想應用，屬于中檔題．