Question

5．已知直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A、B兩點，M為線段AB的中點，延長OM交橢圓C于P．
（1）若直線l與直線OM的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，且橢圓的長軸為4，求橢圓C的方程；
（2）若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積．

Answer 1

分析 （1）將A，B代橢圓方程，作差，求得值AB斜率，由直線OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，則即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，a=2，則b=1，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當直線l的斜率不存在時，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程，代入橢圓方程，由題意可知P（x₁+x₂，y₁+y₂），根據韋達定理，即可求得P點坐標，代入橢圓方程，4m²=b²+a²k²，利用弦長公式 求得丨AB丨，根據點到直線距離公式，即可求得四邊形OAPB的面積．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，直線OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，$\frac{{（x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
由直線l與直線OM的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，則-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，由2a=4，a=2，則b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）當直線l的斜率不存在時，A（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}b$），B（$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}b$），則S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由OAPB為平行四邊形，則P（x₁+x₂，y₁+y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²k²+b²）x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0，
由△＞0，整理得：m²＜b²+a²k²，
x₁+x₂=-$\frac{2km{a}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，
則P（-$\frac{2km{a}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{2m{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$），
由P在橢圓上，
$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}{a}^{4}}{{a}^{2}（{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{m}^{2}{b}^{4}}{{b}^{2}（{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）^{2}}$=1，
即4m²=b²+a²k²，則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2ab\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}-{m}^{2}}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由O到l的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S=丨AB丨•d=$\frac{2ab丨m丨\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}-{m}^{2}}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab，
綜上可知：四邊形OAPB的面積$\frac{\sqrt{3}}{2}$ab．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查“點差法”的應用，考查計算能力，屬于中檔題．