Question

18．已知在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點F是AB邊上動點，點E是棱B₁B的中點．
（Ⅰ）求證：D₁F⊥A₁D；
（Ⅱ）求多面體ABCDED₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，從而A₁D⊥平面ABD₁，由此能證明D₁F⊥A₁D．
（Ⅱ）多面體ABCDED₁的體積V=${V}_{{D}_{1}-ABCD}+{V}_{{D}_{1}-BCE}$，由此能求出結果．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
∴AB⊥A₁D，
∵四邊形ADD₁A₁是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁，
∵點F是AB邊上動點，∴D₁F?平面ABD₁，
∴D₁F⊥A₁D．
解：（Ⅱ）多面體ABCDED₁的體積：
V=${V}_{{D}_{1}-ABCD}+{V}_{{D}_{1}-BCE}$
=$\frac{1}{3}×D{D}_{1}×{S}_{矩形ABCD}$+$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△BCE}$
=$\frac{1}{3}×1×1×2+\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．