Question

14．過點M（-2b，0）做橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩條切線，分別與橢圓交于A、B兩點，且MA⊥MB，
（1）求橢圓離心率；
（2）若橢圓的右焦點為F，四邊形MAFB的面積為2+$\sqrt{2}$，求橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）利用垂直關系，求出直線的斜率，寫出直線方程與橢圓聯立，利用相切關系推出橢圓的離心率．
（2）表示出四邊形的面積，然后轉化求解b，即可得到橢圓的方程．

解答 解：（1）因為MA⊥MB所以k_AM•k_AN=-1，
由橢圓的對稱性可知k_AM=1，k_AN=-1，…（2分）
設直線MA的方程 y=x+2b，聯立$\left\{\begin{array}{l}y=x+2b\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，消去y可得：（a²+b²）x²+4ba²x+3a²b²=0…（4分）
△=16b²a⁴-12a²b²（a²+b²）=0，
a²=3b²
$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（6分）
（2）${S_{四邊形MAFB}}=2×\frac{1}{2}×|{MF}|×|{y_A}|$…（7分）
由（1）可知a²=3b²
則$2+\sqrt{2}=（2b+\sqrt{2}b）{y_A}$，有${y_A}=\frac{1}{b}={x_A}+2b$
則${x_A}=\frac{1}{b}-2b$…（9分）
由（1）可知a²=3b²，則x²+3y²-3b²=0，
${x_A}^2+3{y_A}^2-3{b^2}=0$，有 b⁴-4b²+4=0…（10分）
所以b²=2，$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質與直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．