Question

8．在等比數列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q≠1，等差數列{b_n}的公差為d，運用等差數列和等比數列的通項公式，列方程組，可得公比和公差，進而得到所求通項公式；
（2）求得c_n=a_n+b_n=3ⁿ+（2n+1），運用數列的求和方法：分組求和，結合等比數列和等差數列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q≠1，等差數列{b_n}的公差為d．
由b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
得$\left\{\begin{array}{l}3q=3+3d\\ 3{q^2}=3+12d\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}q=1+d\\{q^2}=1+4d\end{array}\right.$⇒q=3或1（舍去），d=2，
所以a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）由題意，得c_n=a_n+b_n=3ⁿ+（2n+1），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（3+5+7+…+2n+1）+（3+3²+…+3ⁿ）
=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$+$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}$=$\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$+n²+2n-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：分組求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．