Question

如圖，已知圓M：（x-3）²+（y-3）²=4，△ABC為圓M的內接正三角形，E為邊AB的中點，當正△ABC繞圓心M轉動，同時點F在邊AC上運動時，

ME

•

OF

的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：運用向量的三角形法則，結合向量的數量積的定義及幾何意義，可得

ME

•

OF

≤1-

ME

•

MO

，再由向量的數量積定義及余弦函數的值域即可得到最大值．

解答： 解：由題意可得

OF

=

OM

+

MF

，
∴

ME

•

OF

=

ME

•（

OM

+

MF

）=

ME

•

OM

+

ME

•

MF

，
∵

ME

•

MF

=|

ME

|•|

MF

|•cos∠EMF=1×|

MF

|•cos∠EMF≤1，
即F與A重合時，取得最大值1．

ME

•

OM

=-

ME

•

MO

，
由于圓M：（x-3）²+（y-3）²=4，則圓心M（3，3），半徑r=2，
則OM=3

2

，ME=1，
可得

ME

•

MO

=1×3

2

cos＜

ME

，

MO

＞∈[-3

2

，3

2

]，
故

ME

•

OF

的最大值是大為3

2

+1．
故答案為：3

2

+1．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦函數的值域，屬于中檔題．