Question

某工廠需要生產x個零件（50≤x≤150，x∈N^*），經市場調查得知，生產成本包括以下三個方面：①生產1個零件需要原料費50元；②支付職工的工資由6000元的基本工資和每生產1個零件補貼20元組成；③所生產零件的保養總費用是（x²-30x+400）元．
（1）把生產每個零件的平均成本P（x）表示為x的函數關系式，并求P（x）的最小值；
（2）假設生產的零件可以全部賣出，據測算，銷售收入Q（x）關于產量x的函數關系式為Q（x）=1240x-

1

30

x³，那么當產量為多少時生產這批零件的利潤最大？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意P（x）=

50x+6000+20x+x2-30x+400

x

=x+

6400

x

+40，（50≤x≤150，x∈N^*）；從而利用基本不等式求最值；
（2）設利潤為y元，則y=Q（x）-P（x）•x=-

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x³-x²+1200x-6400；求導y′=-

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10

x²-2x+1200=-

1

10

（x-100）（x+120）；從而確定最大值點．

解答： 解：（1）P（x）=

50x+6000+20x+x2-30x+400

x

=x+

6400

x

+40，（50≤x≤150，x∈N^*）；
則x+

6400

x

+40≥2×80+40=200；
（當且僅當x=

6400

x

，即x=80時，等號成立）；
故P（x）的最小值為200元；
（2）由題意，設利潤為y元，
則y=Q（x）-P（x）•x
=1240x-

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x³-（x²+40x+6400）
=-

1

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x³-x²+1200x-6400；
y′=-

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x²-2x+1200
=-

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（x-100）（x+120）；
故y=-

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x³-x²+1200x-6400在（50，100）上是增函數，
在（100，150）上是減函數；
故當產量為100個零件時生產這批零件的利潤最大．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了基本不等式與導數的綜合應用，屬于中檔題．