Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面積為S=

3

12

c，則ab的最小值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．根據△ABC的面積為S=

1

2

ab•sinC=

3

4

ab=

3

12

c，求得c=4ab．再由余弦定理化簡可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．

解答： 解：在△ABC中，由條件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-

1

2

，C=

2π

3

．
由于△ABC的面積為S=

1

2

ab•sinC=

3

4

ab=

3

12

c，∴c=3ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，當且僅當a=b時，取等號，
∴ab≥

1

3

，
故答案為：

1

3

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，誘導公式、兩角和的正弦公式、基本不等式的應用，屬于基礎題．