Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）-x＜0的解集為（x₁，x₂），其中x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，求證x₁＜f（x）＜x₂．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得f（x）的圖象開口向上，且f（x）的圖象和直線y=x的交點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂ ，數(shù)形結(jié)合證得結(jié)論．

解答： 解：由不等式f（x）-x＜0的解集為（x₁，x₂），其中x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
可得a＞0，故f（x）的圖象開口向上，且f（x）的圖象和直線y=x的交點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂ ，如圖：
故當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，求證x₁＜f（x）＜x₂．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．