Question

在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別是BC，CC₁，CD的中點，求證：A₁P⊥平面MDN．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：建立空間直角坐標系，得到所需向量的坐標，利用向量數量積為0，得到直線垂直．

解答： 證明：如圖建立空間直角坐標系

則D（0，0，0，），A₁（2，0，2），M（1，2，0），N（0，2，1），P（0，1，0），
所以

A1P

=（-2，1，-2），

MN

=（-1，0，1），

DN

=（0，2，1），
所以

A1P

•

MN

=2+0+2=0，

A1P

•

DN

=0+2-2=0，
所以A₁P⊥MN，A₁P⊥DN，
所以A₁P⊥平面MND．

點評：本題開車了正方體為載體的線面垂直的判定定理的運用；在正方體中，線面關系的判斷經常利用向量法解答，體現了向量的工具性．