Question

已知大西北某荒漠上A、B兩點相距2km，現準備在荒漠上開墾出一片以AB為一條對角線的平行四邊形區域建成農藝園，按照規劃，圍墻總長為8km．
（1）試求四邊形另兩個頂點的軌跡方程；
（2）問農藝園的最大面積能達到多少？
（3）該荒漠上有一條直線型小溪l剛好通過點A，且l與AB成30°角，現要對整條水溝進行加固改造，但考慮到今后農藝園的水溝要重新設計改造，因此，對水溝可能被農藝園圍進的部分暫不加固，則暫不加固的部分有多長？

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）以AB為x軸、以AB的中垂線直角坐標系，設四邊形的頂點C的坐標是（x，y），由題意得|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，則動點軌跡為橢圓，由條件求出橢圓方程；
（2）由圖和三角形的面積公式求出農藝園的面積S=2S_△ABC=2|y_C|，在由橢圓的范圍求出農藝園的最大面積；
（3）將實際問題轉化為：直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交求弦長問題，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再聯立直線方程和橢圓方程消去Y后，由根與系數的關系、以及弦長公式進行求解．

解答： 解：（1）以AB為x軸，以AB的中垂線直角坐標系，如右圖：
設四邊形的頂點C的坐標是（x，y），則D（-x，-y）且A（-1，0），B（1，0），
由題意得，|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，
所以點C軌跡為橢圓，且a=2，c=1，b=

3

，
四邊形另兩個頂點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由圖得，農藝園的最大面積S=2S_△ABC=2×

1

2

|AB||y_C|=2|y_C|，
因為|y_C|≤

3

，則2|y_C|≤2

3

，
所以農藝園的最大面積能達到2

3

km²；
（3）因為直線型小溪l剛好通過點A，且l與AB成30°角，所以直線l的方程為：y=

3

3

(x+1)，
設直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交于點P、Q兩點，則水溝可能被農藝園圍進的部分為PQ，
設設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y= 3 3 (x+1) x2 4 + y2 3 =1

得，13x²+8x-32=0，
所以x₁+x₂=-

8

13

，x₁x₂=-

32

13

，
則|PQ|=

(1+ 1 3 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 [(- 8 13 )2+4× 32 13 ]

=

48

13

（km），
所以暫不加固的部分為

48

13

km．

點評：本題考查圓錐曲線在實際生活中的應用，涉及橢圓的定義、標準方程和性質，直線與圓的位置關系：弦長公式、韋達定理等應用，解題時要認真審題、仔細解答，題目新穎，體現數學與實際生活的關系．