Question

1．已知{a_n}是等差數(shù)列，其中a₁=25，a₄=16，
（1）求{a_n}的通項；
（2）數(shù)列{a_n}從哪一項開始小于0；
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|值．

Answer 1

分析 （1）由a₄=a₁+3d，a₁=25，求得d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求得{a_n}的通項；
（2）由28-3n＜0，解得n＞9$\frac{1}{3}$，則數(shù)列{a_n}從10項開始小于0；
（3）由題意可知：當n≤9時，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，當n≥10時，S_n=2S₉-$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，即可求得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|值．

解答 解：（1）∵a₄=a₁+3d，
∴d=-3，
a_n=25+（-3）（n-1）=28-3n，
等差數(shù)列的通項公式a_n=28-3n，…（4分）
（2）∵28-3n＜0，
∴n＞9$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}從10項開始小于0；
（3）設S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，
當n≤9時，S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$，
由n=9時，S₉=117，
當n≥10時，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀…+a_n，①
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉-a₁₀…+a_n，②
由①+②得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=2S₉-S_n=2S₉-$\frac{-3{n}^{2}+53n}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-53n+468}{2}$，
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{-3{n^2}+53n}}{2}\;（n≤9）}\\{\frac{{3{n^2}-53n+468}}{2}\;（n＞9）}\end{array}}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查含有絕對值的數(shù)列的前n項和的求法，考查計算能力，屬于中檔題．