Question

10．關于x的方程（2017-x）（1999+x）=2016恰有兩個根為x₁、x₂，且x₁、x₂分別滿足3^x₁=a-3x₁和log₃（x₂-1）³=a-3x₂，則x₁+x₂+a=61．

Answer 1

分析 利用韋達定理求出x₁+x₂=16．利用互為反函數的性質求出a，即可得出結論．

解答 解：方程（2017-x）（1999+x）=2016可化為-x²+16x+2017×1999-2016=0，
∴x₁+x₂=16．
∵x₁滿足3^x₁=a-3x₁，x₂滿足log₃（x₂-1）³=a-3x₂，
∴${3}^{{x}_{1}-1}$=$\frac{a}{3}$-1-（x₁-1），log₃（x₂-1）=$\frac{a}{3}$-1-（x₂-1）．
∴x₁-1+x₂-1=$\frac{a}{3}$-1，
∴a=45，
∴x₁+x₂+a=16+45=61．
故答案為61．

點評 本題考查了指數函數與對數函數化為反函數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．