Question

19．下列四個命題中，正確的個數是（　�。�
①命題“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“對于任意的x∈R，x²-x＜0”；
②若函數f（x）在（2016，2017）上有零點，則f（2016）•f（2017）＜0；
③在公差為d的等差數列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比數列，則公差d為-$\frac{1}{2}$；
④函數y=sin2x+cos2x在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調遞增區間為[0，$\frac{π}{8}$]．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 寫出原命題的否定，可判斷①；根據函數零點的存在定理，可判斷②；求出滿足條件的公差，可判斷③；根據三角函數的單調性，可判斷④

解答 解：①命題“存在x∈R，x²-x＞0”的否定是“對于任意的x∈R，x²-x≤0”；故錯誤；
②若函數f（x）在（2016，2017）上有零點，則f（2016）•f（2017）＜0不一定成立，故錯誤；
③在公差為d的等差數列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比數列，則（2+2d）²=2（2+3d），
解得：d=-$\frac{1}{2}$，或d=0，故錯誤；
④函數y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，令2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
解得：x∈[0，$\frac{π}{8}$]．即在[0，$\frac{π}{2}$]上函數y=sin2x+cos2x的單調遞增區間為[0，$\frac{π}{8}$]．故正確；
故選：B．

點評 本題以命題的真假判斷應用為載體，考查了特稱命題，函數的零點，數列，三角函數的單調性等知識點，難度中檔．