Question

19．若0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，且cos β=-$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{1}{3}$，則cos α=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 由條件，運用同角平方關系可得sinβ，cos（α+β），再由cosα=cos[（α+β）-β]，運用兩角差余弦公式，計算即可．

解答 解：0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，cos β=-$\frac{1}{3}$，
可得sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
sin（α+β）=$\frac{1}{3}$，且$\frac{π}{2}$＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
可得cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$
=-$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數公式的應用，注意運用角的變換，考查運算能力，屬于中檔題．