Question

7．A，B兩種規格的產品需要在甲、乙兩臺機器上各自加工一道工序才能成為成品．已知A產品需要在甲機器上加工3小時，在乙機器上加工1小時；B產品需要在甲機器上加工1小時，在乙機器上加工3小時．在一個工作日內，甲機器至多只能使用11小時，乙機器至多只能使用9小時．A產品每件利潤300元，B產品每件利潤400元，求在一個工作日內的利潤最大時，需要生產甲產品與乙產品多少件？
（在如圖所示平面直角坐標系中畫圖）

Answer 1

分析 設生產A產品x件，B產品y件，生產利潤為元z，列出約束條件以及目標函數，畫出可行域，利用線性規劃求解即可．

解答 解：設生產A產品x件，B產品y件，生產利潤為元z，…（1分）
則x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≤11}\\{x+3y≤9}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$                        …（3分）
生產利潤為z=300x+400y（x∈N，y∈N）．…（4分）畫出可行域，如圖所示，…（7分）
令z=0，得直線l₀：3x+4y=0，平移此直線，在點A處
z取得最大值   …（8分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=11}\\{x+3y=9}\end{array}\right.$，…（9分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$                         …（10分）
則z_max=300×3+400×2=1 700，…（11分）
答：生產甲產品3件，乙產品2件時，利潤最大，為1700元．   …（12分）

點評 本題考查線性規劃的實際應用，考查數形結合以及計算能力．