Question

17．已知圓 M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若Q（1，0），求切線QA，QB的方程；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程．

Answer 1

分析 （1）設出切線方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可．
（2）設AB與MQ交于點P，求．出|MP|，利用相似三角形，|MB|²=|MP||MQ|，設Q（x，0），通過x²+2²=9，求解即可．

解答 解：（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，則圓心M到切線的距離為1，
∴$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，∴m=-$\frac{4}{3}$或m=0，
∴切線方程為3x+4y-3=0和x=1．
（2）設AB與MQ交于點P，則MP⊥AB，∵MB⊥BQ，∴|MP|=$\sqrt{1-（{\frac{2\sqrt{2}}{3}）}^{2}}=\frac{1}{3}$，
利用相似三角形，|MB|²=|MP||MQ|，∴|MQ|=3，設Q（x，0），x²+2²=9，∴x=$±\sqrt{5}$，
直線方程為：2x+$\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或2x-$\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．