Question

4．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是線段AB上的點，則P到AC，BC的距離的乘積的最大值為（　　）

• A． 12
• B． 8
• C． $8\sqrt{3}$
• D． 36

Answer 1

分析 設P到AC的距離為x，到BC的距離為y，根據比例線段的性質可知$\frac{x}{6}=\frac{8-y}{8}$，整理求得y=8-$\frac{4}{3}$x，進而可求得xy的表達式根據二次函數的性質求得答案．

解答 解：如圖，設P到AC的距離為x，到BC的距離為y，$\frac{x}{6}=\frac{8-y}{8}$，
即最上方小三角形和最大的那個三角形相似，它們對應的邊有此比例關系，所以4x=24-3y，y=8-$\frac{4}{3}$x
求xy最大，也就是那個矩形面積最大．
xy=x•（8-$\frac{4}{3}$x）=-$\frac{4}{3}$（x²-6x），當x=3時，xy有最大值12
故選A．

點評 本題主要考查了解三角形的問題．考查了學生轉化和化歸思想，函數思想的運用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．