Question

8．已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（1）當a=1時，求曲線y=g（x）在x=1處的切線的方程；
（2）當a＞0時，討論函數g（x）的單調性；
（3）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，其中x₁＜x₂，
證明$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用導數的幾何意義即可求解；
（2）先求函數導數，再討論參數范圍確定導數符號即可．
（3）由條件得到不等關系，再進行整體換元轉化為一元不等式的證明問題．

解答 解：（1）當a=1時，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴$g′（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
∴g′（1）=0，又g（1）=-2，
∴曲線在x=1處的切線方程為y=-2．
（2）∵$g′（x）=\frac{1}{x}+2ax-（2a+1）$
=$\frac{2a{x}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$
=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$=$\frac{2a（x-\frac{1}{2a}）（x-1）}{x}$（x＞0）
∴①當$\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0得，$0＜x＜\frac{1}{2a}$或x＞1；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以，增區間為$（0\;，\;\frac{1}{2a}）\;，\;（1，+∞）$；減區間為$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$；
②當$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0得，0＜x＜1或$x＞\frac{1}{2a}$；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}＜x＜1$．
所以，增區間為$（0\;，\;1）\;，\;（\frac{1}{2a}，+∞）$；減區間為$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$；
③當$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$時，$g'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}＞0$，增區間為（0，+∞）．
綜上，當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，增區間為$（0\;，\;1）\;，\;（\frac{1}{2a}，+∞）$；減區間為$（1\;，\;\frac{1}{2a}）$；
當$a=\frac{1}{2}$時，增區間為（0，+∞）；
當$a＞\frac{1}{2}$時，增區間為$（0\;，\;\frac{1}{2a}）\;，\;（1，+∞）$；減區間為$（\frac{1}{2a}\;，\;1）$．
（3）依題，$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，要證  $\frac{1}{x_2}＜k＜\frac{1}{x_1}$，
只要證  $\frac{1}{{x}_{2}}＜\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}＜\frac{1}{{x}_{1}}$，
因為 x₂-x₁＞0，故只要證  $\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}＜ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}＜\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=t$（t＞1），則只需證  $1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），
令$h（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$（t＞1），則$h′（t）=\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}=\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上單調遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即$lnt＞1-\frac{1}{t}$（t＞1），
同理可證：lnt＜t-1，
綜上，$1-\frac{1}{t}＜lnt＜t-1$（t＞1），即$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$．

點評 本題考查了導數的幾何意義和導數在函數中的運用．考查了邏輯思維和運算能力以及轉化的思想方法．屬于難題．