Question

18．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求：
（1）三棱錐A′-BC′D的體積．
（2）若球O₁使得其與三棱錐A′-BC′D的六條棱都相切，三棱錐A′-BC′D外接球為O₂，內切球為O₃，求球O₁，O₂，O₃半徑的比值．

Answer 1

分析 （1）利用割補法，求三棱錐A′-BC′D的體積．
（2）分別求出球O₁，O₂，O₃半徑，即可求球O₁，O₂，O₃半徑的比值．

解答 解：（1）三棱錐A′-BC′D的體積=a³-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$；
（2）設三棱錐A′-BC′D的六條棱長為1個單位，則棱錐的高為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，O₂，O₃半徑為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{12}$，O₂與O₃半徑比為3：1，
三棱錐對棱的距離為$\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以球O₁半徑為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴球O₁，O₂，O₃半徑的比值為$\sqrt{3}$：3：1．

點評 本題考查體積的計算，考查學生的計算能力，正確計算是關鍵．