Question

7．已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數，若函數f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a（x≠0）有且僅有2個零點，則a的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）=0得$\frac{[x]}{x}$=a，令g（x）=$\frac{[x]}{x}$，作出g（x）的圖象，利用數形結合即可得到a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a=0得$\frac{[x]}{x}$=a，
設g（x）=$\frac{[x]}{x}$，
則當0＜x＜1，[x]=0，此時g（x）=0，
當1≤x＜2，[x]=1，此時g（x）=$\frac{1}{x}$，此時$\frac{1}{2}$＜g（x）≤1，
當2≤x＜3，[x]=2，此時g（x）=$\frac{2}{x}$，此時$\frac{2}{3}$＜g（x）≤1，
當3≤x＜4，[x]=3，此時g（x）=$\frac{3}{x}$，此時$\frac{3}{4}$＜g（x）≤1，
當4≤x＜5，[x]=4，此時g（x）=$\frac{4}{x}$，此時$\frac{4}{5}$＜g（x）≤1，
作出函數g（x）的圖象，
要使f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a有且僅有兩個零點，
即函數g（x）=a有且僅有兩個零點，
則由圖象可知$\frac{2}{3}$＜a≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題主要考查函數零點的應用，根據函數和方程之間的關系構造函數g（x），利用數形結合是解決本題的關鍵．