Question

9．某衛(wèi)視推出一檔全新益智答題類節(jié)目，這檔節(jié)目打破以往答題類節(jié)目的固定模式，每檔節(jié)目中將會有各種年齡層次，不同身份，性格各異的10位守擂者和1位打擂者參加，以PK的方式獲得別人手中的獎品，一旦失敗，就將掉下擂臺，能否“一站到底”成為節(jié)目最大懸念．現(xiàn)有一位參賽者已經挑落10人，此時他可以贏得10件獎品離開或者沖擊超級大獎“馬爾代夫雙人游”，沖擊超級大獎會有一定的風險，節(jié)目組會精選5道題進行考核，每個問題能正確回答進入下一道，否則失敗，此時只能帶走5件獎品，若5道題全部答對則可以帶走10件獎品且還可以獲得超級大獎“馬爾代夫雙人游”．若這位參賽者答對第1，2，3，4，5道題的概率分別為$\frac{5}{6}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，且各輪問題能否正確回答互不影響，求：
（Ⅰ）該參賽者選擇沖擊大獎最終只帶走5件獎品的概率；
（Ⅱ）該參賽者在沖擊超級大獎的過程中回答問題的個數記為X，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）利用相互對立事件的概率計算公式可得：該參賽者選擇沖擊大獎最終只帶走5件獎品的概率=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）X的所有能取值分別為：1，2，3，4，5．可得P（X=1）=$1-\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，P（X=2）=$\frac{5}{6}$×$（1-\frac{2}{3}）$，P（X=3）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$，P（X=4）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{1}{3}）$，P（X=5）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1．

解答 解：（I）該參賽者選擇沖擊大獎最終只帶走5件獎品的概率=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{319}{324}$，
（Ⅱ）X的所有能取值分別為：1，2，3，4，5．
則P（X=1）=$1-\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=2）=$\frac{5}{6}$×$（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{5}{18}$，
P（X=3）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{18}$，
P（X=4）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$（1-\frac{1}{3}）$=$\frac{5}{27}$，
P（X=5）=$\frac{5}{6}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×1=$\frac{5}{54}$．
∴隨機變量X的分布列期望：

X	1	2	3	4	5
P（X）	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{27}$	$\frac{5}{27}$

期望E（X）=$1×\frac{1}{6}$+2×$\frac{5}{18}$+$3×\frac{5}{18}$+$4×\frac{5}{27}$+5×$\frac{5}{27}$=$\frac{149}{54}$．

點評 本題考查了相互對立事件與相互獨立事件概率計算公式、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．