Question

12．如圖，直角△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，作△ABC的內接正方形BEFB₁，再作△B₁FC的內接正方形B₁E₁F₁B₂，…，依次下去，所有正方形的面積依次構成數列{a_n}，其前n項和為$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．

Answer 1

分析 由題意可得：△ACB∽△FB₁C，可得$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$，即$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$，解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₁=$\frac{4}{9}$；同理可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，${a}_{n}=（\frac{4}{9}）^{n}$．利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：由題意可得：△ACB∽△FB₁C，
∴$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$，∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$，解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₁=$（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$；
同理可得：$\sqrt{{a}_{2}}$=$（\frac{2}{3}）^{2}$，a₂=$（\frac{4}{9}）^{2}$；
…，
可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，${a}_{n}=（\frac{4}{9}）^{n}$．
∴數列{a_n}的前n項和=$\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{4}{9}）^{n}]}{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．
故答案為：$\frac{4}{5}$$[1-（\frac{4}{9}）^{n}]$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、三角形相似的性質、正方形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．