Question

3．設函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²+x+1．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的極值點；
（2）當a=0時，證明：xe^x≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，求出導函數零點，根據導數判斷函數的單調性與極值即可；
（2）令F（x）=xe^x-f（x）=xe^x-lnx-x-1（x＞0），則$F'（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{1}{x}-1=\frac{x+1}{x}•（{x{e^x}-1}）$；再令G（x）=xe^x-1，利用G（x）的單調性來判斷F（x）的單調性．

解答 解：（1）由題意得$x∈（{0，+∞}），f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}$，
當f'（x）＞0時，0＜x＜1，f（x）在（0，1）上為增函數；
當f'（x）＜0時，x＞1，f（x）在（1，+∞）上為減函數；
所以x=1是f（x）的極大值點，無極小值點
（2）證明：令F（x）=xe^x-f（x）=xe^x-lnx-x-1（x＞0），
則$F'（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{1}{x}-1=\frac{x+1}{x}•（{x{e^x}-1}）$，
令G（x）=xe^x-1，則因為G'（x）=（x+1）e^x＞0（x＞0），
所以函數G（x）在（0，+∞）上單調遞增，G（x）在（0，+∞）上最多有一個零點，
又因為G（0）=-1＜0，G（1）=e-1＞0，所以存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，
且當x∈（0，c）時，G（x）＜0；當x∈（c，+∞）時，G（x）＞0，
即當x∈（0，c）時，F'（x）＜0；當x∈（c，+∞）時，F'（0）＞0，
所以F（x）在（0，c）上單調遞減，在（c，+∞）上單調遞增，從而F（x）≥F（c）=c•e^c-lnc-c-1，
由G（c）=0得c•e^x-1=0即c•e^c=1，兩邊取對數得：lnc+c=0，
所以F（c）=0，F（x）≥F（c）=0，從而證得xe^x≥f（x）．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性與極值，以及構造新函數判斷原函數的單調性，對數等知識點，屬中等題．