Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=-$\frac{31}{2}$．

Answer 1

分析 由題意求得$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$，再把要求的式子化為-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$，計(jì)算可得結(jié)果．

解答 解：已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=12=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3+16+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$．
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{7}{2}$-3-16=-$\frac{31}{2}$，
故答案為：-$\frac{31}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．