Question

8．設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時$f（x）=x+\frac{a^2}{x}+7$，若f（x）≥a+1對一切 x≥0成立，則a的取值范圍為a≤-1或a≥8．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性的對稱性求出當x＞0時的解析式，利用基本不等式的性質求出函數f（x）的最值即可得到結論．

解答 解：設x＞0，則-x＜0．
∵當x＜0時，$f（x）=x+\frac{a^2}{x}+7$，
∴f（-x）=-x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7．
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7．
∵f（x）≥a+1對一切x≥0成立，
∴當x＞0時，x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥a+1恒成立；且當x=0時，0≥a+1恒成立．
①由當x=0時，0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
②由當x＞0時，x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥a+1恒成立，可得：2|a|-7≥a+1
解得a≤-8或a≥8．
綜上可得：a≤-1或a≥8．
因此a的取值范圍是：a≤-1或a≥8．
故答案為：a≤-1或a≥8．

點評 本題主要考查函數恒成立問題，根據函數的奇偶性求出函數的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解決本題的關鍵．