Question

16．已知函數f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}{sin^2}$x-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）當x∈[${\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}}$]時，求函數f（x）的值域；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間和其圖象的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用求得正弦函數的定義域和值域函數f（x）的值域．
（2）利用正弦函數的單調性，正弦函數的圖象的對稱性，求得函數f（x）的單調遞增區間和其圖象的對稱中心．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）$，∵x∈[${\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴$f（x）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$．
（2）由題知，使f（x）單調遞增，
則須$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]，k∈Z，解得x∈[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]，k∈Z$，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故函數的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，正弦函數的單調性，正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．