Question

8．如圖，在三棱臺ABO-A₁B₁O₁中，側面AOO₁A₁與側面OBB₁O₁是全等的直角梯形，且OO₁⊥OB，OO₁⊥OA，平面AOO₁A₁⊥平面OBB₁O₁，OB=3，O₁B₁=1，OO₁=$\sqrt{3}$．
（1）證明：AB₁⊥BO₁；
（2）求直線AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值；
（3）求二面角O-AB₁-O₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出OA⊥OB，OA⊥BO₁，OB₁⊥BO₁，OA⊥BO₁，從而BO₁⊥平面AOB₁，由此能證明AB₁⊥BO₁．
（2）以O為原點，OA、OB、OO₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值．
（3）求出平面OA B₁的一個法向量和平面O₁A B₁的一個法向量，利用向量法能求出二面角O-AB₁-O₁的余弦值．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（1）由題設知OA⊥OO₁，且平面AOO₁A₁⊥平面OBB₁O₁，
平面AOO₁A₁∩平面OBB₁O₁=OO₁，
則OA⊥平面OBB₁O₁，所以OA⊥OB，OA⊥BO₁，
又因為$O{O_1}=\sqrt{3}$．O₁B₁=1，OB=3，
所以∠OO₁B=60°，∠O₁OB₁=30°，
從而OB₁⊥BO₁，又因為OA⊥BO₁，OB₁∩OA=O，
故BO₁⊥平面AOB₁，又AB₁?平面AOB₁，故AB₁⊥BO₁．…（4分）
解：（2）以O為原點，OA、OB、OO₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
如圖，則A（3，0，0），B（0，3，0），B₁（0，1，$\sqrt{3}$），O₁（0，0，$\sqrt{3}$）．
由（1）知BO₁⊥平面OA B₁，從而$\overrightarrow{B{O_1}}$是平面OA B₁的一個法向量．
$\overrightarrow{B{O_1}}=（0，-3，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{O_1}}=（-3，0，\sqrt{3}）$，
設直線AO₁與平面AOB₁所成的角為α，
$sinα=|{cos＜\overrightarrow{A{O_1}}，\overrightarrow{B{O_1}}＞}|=\frac{3}{{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}$．cosα=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直線AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．…（8分）
（3）由（II）知$\overrightarrow{B{O_1}}$是平面OA B₁的一個法向量．且$\overrightarrow{B{O_1}}=（0，-3，\sqrt{3}）$，
設$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面O₁A B₁的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{O_1}{B_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3x+y+\sqrt{3}z=0\\ y=0.\end{array}\right.，取z=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（1，0，\sqrt{3}）$．
設二面角O-AB₁-O₁的大小為，
則cosθ=cos＜，$\overrightarrow{B{O_1}}$＞=
即二面角O-AB₁-O₁的余弦值是$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（13分）

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．