Question

15．已知函數f（x）=cos2x+2sinx
（Ⅰ）求f（-$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數解析式計算f（-$\frac{π}{6}$）即可；
（Ⅱ）化f（x）為sinx的二次函數，利用三角函數的有界性和二次函數的性質求出f（x）的最值即可．

解答 解：函數f（x）=cos2x+2sinx，
（Ⅰ）f（-$\frac{π}{6}$）=cos（-$\frac{π}{3}$）+2sin（-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）
=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）=（1-2sin²x）+2sinx=-2${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
∴當x=$\frac{π}{6}$+2kπ或x=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z時，f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$；
當x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，f（x）取得最小值-3；
∴f（x）的值域是[-3，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數求值的應用問題，也考查了二次函數的性質與應用問題，是基礎題目．