Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]對f（t）值域內所有實數m都成立，不等式x²+（m-4）x+4-2m＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，問題轉化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，運用一次函數的圖象和性質，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原題轉化為：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，為m的一次函數，
當x=2時，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，
問題轉化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
則：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，即

(x-2)(x- 3 2 )＞0 (x-2)(x+1)＞0

，即有

x＞2或x＜ 3 2 x＞2或x＜-1

．
解得：x＞2或x＜-1．
則有x的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查不等式恒成立問題，是中檔題，解題時要注意對數性質的合理運用和構造一次函數，運用圖象和性質解題．