Question

如圖，矩形ABCD中．AD⊥平面ABE，BE=BC，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE，G為AC與BD的交點．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）根據AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根據線面垂直的性質可知AE⊥BC，根據BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，而BC∩BF=B，滿足線面垂直的判定定理，從而證得結論；
（2）依題意可知G是AC中點，根據BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，從而F是EC中點，根據中位線定理可知FG∥AE，又FG?平面BFD，AE?平面BFD，滿足線面平行的判定定理的三個條件，從而得證．

解答： 解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，而AE?平面ABE則AE⊥BC…（2分）
又∵BF⊥平面ACE，而AE?面ACE，則AE⊥BF，BC∩BF=B
∴AE⊥平面BCE…（5分）
（2）證明：依題意可知：G是AC中點…（6分）
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，
而BC=BE
∴F是EC中點…（9分）
在△AEC中，FG∥AE
又FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD…（12分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定和線面垂直的性質，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．