Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有頂點都在半徑為

5

的球面上，且AB=AC=1，BC=

2

，求此三棱柱的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為直角三角形，我們可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，通過外接球的半徑，求出該三棱柱的高．然后求解體積．

解答： 解：由題意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面ABC為直角三角形，把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成四棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，
所以棱錐的高為：2

( 5 )2-( 2 2 )2

=3

2

，
則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為：

1

2

×1×1×3

2

=

3 2

2

．
故答案為：

3 2

2

．

點評：本題考查球的球的內接體問題，關鍵是由組合體的位置關系得到球的半徑的關系式，考查學生空間想象能力，是基礎題．