Question

已知等差數列{a_n}滿足a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，該數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）令T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

（n∈N^*），證明：T_n+

2n+3

2n

-

1

n

＜3．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設d、q分別為數列{a_n}、數列{b_n}的公差與公比，a₁=1．由題可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數列{b_n}的前三項，從而可得（2+d）²=2（4+2d），根據a_n+1＞a_n，可確定公差的值，從而可求數列{a_n}的通項，進而可得公比q，故可求{b_n}的通項公式
（2）表示出T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，利用錯位相減法求和，然后證明T_n+

2n+3

2n

-

1

n

＜3．

解答： 解：（1）設d、q分別為數列{a_n}、數列{b_n}的公差與公比，a₁=1．
由題可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比數列{b_n}的前三項，
∴（2+d）²=2（4+2d）⇒d=±2．
∵a_n+1＞a_n，
∴d＞0．
∴d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（2）證明：T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①
∴

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

．②
①-②，得

1

2

T_n=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+…++…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．
∴T_n+

2n+3

2n

-

1

n

=3-

1

n

＜3，
不等式成立．

點評：本題以等差數列與等比數列為載體，考查數列通項公式的求解，考查數列與不等式的綜合，考查錯位相減法求數列的和，綜合性強．