Question

已知函數f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）．
（1）當

1

4

＜a＜4時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（2）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實數a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數的最值及其幾何意義

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）函數f（x）即為

9

ax+ 1 x

，令g（x）=ax+

1

x

，運用導數，判斷單調性，求得極小值，也為最小值，即可得到f（x）的最大值；
（2）設出切點為（m，n），求出f（x）的導數，求出切線的斜率，由已知切線的方程可得am²=2或5，再由切點在切線上和曲線上，滿足它們的方程，解方程即可得到a的值．

解答： 解：（1）當

1

2

≤x≤2時，
函數f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）=

9

ax+ 1 x

，
令g（x）=ax+

1

x

，g′（x）=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

=

( a x+1)( a x-1)

x2

，
當

1

4

＜a＜4時，

1

2

＜

1

a

＜2．
當

1

a

＜x≤2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當

1

2

≤x＜

1

a

時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=

1

a

處g（x）取得極小值，也為最小值，且為2

a

．
則有f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為

9

2 a

．
（2）函數f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）的導數為f′（x）=

9(1+ax2)-18ax2

(1+ax2)2

=

9-9ax2

(1+ax2)2

，
設切點為（m，n），則切線的斜率為k=

9-9am2

(1+am2)2

，又直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，即有k=-1，
∴

9-9am2

(1+am2)2

=1，解得am²=2或5，
又n=-m+2a，n=

9m

1+am2

，
當am²=2，可得n=3m=2a-m，即a=2m，解得a=2；
當am²=5，可得n=

3

2

m=2a-m，即a=

5

8

m，解得a=

5

4

．
故實數a的值為2或

5

4

．

點評：本題考查導數的運用：求切線的斜率和判斷單調性、求極值和最值，主要考查導數的幾何意義和函數單調性的運用，設出切點和正確求導是解題的關鍵．