Question

已知函數u（x）=xlnx-lnx，v（x）=x-a，w（x）=

a

x

，三個函數的定義域均為集合A={x|x＞1}．
（1）若u（x）≥v（x）恒成立，滿足條件的實數a組成的集合為B，試判斷集合A與B的關系，并說明理由；
（2）記G（x）=[u（x）-w（x）][v（x）-

w(x)

2

]，是否存在m∈N^*，使得對任意的實數a∈（m，+∞），函數G（x）有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數m；若不存在，說明理由．（以下數據供參考：e≈2.7183，ln（

2

+1）≈0.8814）

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數恒成立問題

專題：導數的綜合應用

分析：（1）u（x）≥v（x）恒成立?a≥x-xlnx+lnx=m（x），則m′（x）=

1

x

-lnx，x∈（1，+∞）．易知m′(x)=

1

x

-lnx在（1，+∞）上遞減，m'（x）＜m'（1）=1，研究其單調性即可得出最大值．
（2）令f（x）=u（x）-w（x），g（x）=v（x）-

1

2

w(x)x∈（1，+∞）．由零點存在性定理可知：?a∈（1，+∞），函數f（x）在定義域內有且僅有一個零點．同理可知?a∈（1，+∞），函數g（x）在定義域內有且僅有一個零點．?假設存在x₀使得f（x₀）=g（x₀）=0，

a=x02lnx0-x0lnx0 x0-a= a 2x0

，消a得lnx0-

2x0

2x02-x0-1

=0，令h(x)=lnx-

2x

2x2-x-1

，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）u（x）≥v（x）恒成立?a≥x-xlnx+lnx=m（x），則m′（x）=

1

x

-lnx，x∈（1，+∞）．
易知m′(x)=

1

x

-lnx在（1，+∞）上遞減，
∴m'（x）＜m'（1）=1，
存在x₀∈（1，+∞），使得m'（x₀）=0，函數m（x）在x∈（1，x₀）遞增，在x∈（x₀，+∞）遞減．
a≥m（x₀）．
由m'（x₀）=0得lnx0=

1

x0

，
m(x0)=x0-x0•

1

x0

+

1

x0

=x0+

1

x0

-1＞1，
∴B⊆A．
（2）令f(x)=u(x)-w(x)=xlnx-lnx-

a

x

，g(x)=v(x)-

w(x)

2

=x-a-

a

2x

，x∈(1，+∞)．
?f′(x)=lnx+1-

1

x

+

a

x2

＞0，x∈(1，+∞)，
由于a∈（m，+∞）⇒a＞1，f（1）=-a＜0，x→+∞，f（x）→+∞，
由零點存在性定理可知：?a∈（1，+∞），函數f（x）在定義域內有且僅有一個零點．
?g′(x)=1+

a

2x2

＞0，x∈(1，+∞)，g(1)=1-

3a

2

＜0，x→+∞，g（x）→+∞，同理可知?a∈（1，+∞），
函數g（x）在定義域內有且僅有一個零點．
?假設存在x₀使得f（x₀）=g（x₀）=0，

a=x02lnx0-x0lnx0 x0-a= a 2x0

，
消a得lnx0-

2x0

2x02-x0-1

=0，
令h(x)=lnx-

2x

2x2-x-1

，
h′(x)=

1

x

+

4x2+2

(2x2-x-1)2

＞0．
∴h（x）遞增．
∵h(2)=ln2-

4

5

=

1

5

ln

32

e4

＜0    h(

2

+1)=0.8814-

2

3

＞0，
∴x0∈(2，

2

+1)，
此時a=

x02

x0+ 1 2

=x0+

1

2

+

1

4(x0+ 1 2 )

-1∈(

8

5

，2)，
所以滿足條件的最小整數m=2．

點評：本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值，考查了對于極值存在但是求不出來的情況的解決方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．