Question

已知點（0，1），（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）在同圓C上．   
（1）求圓C方程             
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（1）設出圓的標準方程，把三個點代入，聯立方程組求得．
（2）設出點A，B的坐標，聯立直線與圓的方程，消去y，確定關于x的一元二次方程，已知的垂直關系，確定x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達定理求得a．

解答： 解：（1）∵圓過（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）點，故圓心的橫坐標為3，
設圓的方程為（x-3）²+（y-n）²=r²，
把點（3+2

2

，0）代入圓的方程得8+n²=r²，①
把點（0，1）代入圓的方程得9+（1-n）²=r²，②
①②聯立求得n=1，r²=9，
故圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，
    聯立直線與圓的方程

（x-3）2+（y-1）2=9 x-y+a=0

，
    2x2+2（a-4）x+（a-1）2=0，
    x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，
    代入兩根之和與兩根之積，解得a=-1．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系，圓的標準方程．考查了學生分析和圖象觀察能力．注意把圓的代數問題與圓的平面性質相結合．